Hemos visto que cuando aplicamos las reglas de Tartaglia, aparecían por parejas raíces cuadradas de radicandos negativos sin interpretación real, no obstante esta dificultad la salvará, para casos particulares, otro matemático italiano del siglo; Rafael Bombelli, con su álgebra de 1572. Esta obra es la última de los algebristas italianos del siglo XVI y es importante no sólo por las innovaciones, algunas patentes y otras latentes, sino también porque mide el progreso que se va realizando en el proceso de resolución del imperialismo geométrico de la ciencia griega, reflejado en la absorción de la geometría por el álgebra, que en cierto momento sera casi total.
La novedad más importante que introduce Bombelli en su álgebra es el tratamiento de los números complejos y de sus operaciones. Mientras que en su manuscrito aparecen los números imaginarios como raíces cuadradas de números negativos, en el texto, de mas de veinte años después, utiliza un simbolismo en el libro impreso: " he encontrado otra especie de raíces ligadas ( se refiere a las raíces cubicas de irracionales cuadráticos) que se presentan en la ecuación de cubo igual a tantos y números (despues de haber leido a Diofanto, Bombelli utiliza la expresión "tantos" en lugar de "cosas"), cuando el cubo de la tercera parte de los tantos es mayor que el cuadrado de la mitad del numero (es nuestro caso irreducible) y esas especie de raíz cuadrada tiene en el algoritmo otro nombre y otras operaciones. Como en este caso esa parte no puede llamarse ni mas ni menos, la llamaré más de menos cuando deba agregarse y menos de menos cuando ha de restarse...que ha muchas personas ha de parecer más sofístico que real, como supuse yo también hasta que encontré su demostración geométrica..." Expone luego correctamente las operaciones con los símbolos p d m y m d m .
Es claro entonces que su mayor contribución a la teoría de ecuaciones será la resolución, mediante su algoritmo como intermediario, del caso irreducible de la ecuación cúbica.
De esta forma invitamos al lector a que encuentre todas las raíces de la ecuación: x^3=15x+4
utilizando el algoritmo de Bombelli.
AYUDA
viernes, 5 de junio de 2009
sábado, 30 de mayo de 2009
Interpretación y resolución de la ecuación propuesta:
Los acontecimientos que tuvieron lugar en torno al problema de la resolución de la ecuación de tercer grado configuran uno de los episodios más apasionantes de la historia del álgebra.
En 1539,Nicolò Fontana “Tartaglia” (ca. 1499 – 1557) comunicó a Girolamo Cardano (1501 – 1576), mediante unos tercetos, las reglas que permitían resolver tres tipos de ecuaciones de tercer grado [x3 + px = q ; x3 = px + q; x3 + q = px, (p, q >0)].
He aquí la traducción e interpretación matemática de los tres tercetos en los que el “tartamudo de Brescia”describe la regla para calcular la única raíz positiva de la ecuación x3 + px = q.
Cuando el cubo y las cosas juntas
[x3 + px]
Se igualan a cualquier número discreto:
[x3 + px = q]
Se buscan otros dos que difieran en él.
[u – v = q]
Luego, tendrás por costumbre
Cardano, como muestra de agradecimiento, se comprometió a no revelarlas hasta que Tartaglia las hiciese públicas. No obstante, ante la tardanza de dicha publicación, Cardano las dio a conocer en su Ars Magna (1545).
Este hecho provocó que, al año siguiente, Nicolò Fontana publicase algunos comentarios despectivos sobre Girolamo que originaron una polémica nada edificante entre Tartaglia y Ludovico Ferrari (1522 – 1565), otro de los grandes matemáticos italianos del Renacimiento.
En las líneas siguientes, utilizando el simbolismo moderno y mediante un proceso similar al de Tartaglia-Cardano, presentamos la fórmula que permite resolver la ecuación de tercer grado por radicales.
Es un hecho bien conocido que cualquier ecuación general de tercer grado se puede transformar, mediante los cambios pertinentes, en otra sin término de segundo grado y cuyo primer coeficiente es 1. En consecuencia, basta con estudiar las ecuaciones del tipo:.
x3 + px + q = 0 [1]
A partir de la identidad (u + v)3 = u3 + v3 + 3uv (u + v) se puede escribir la siguiente relación:
(u + v)3 – 3uv(u + v) – (u3 + v3) = 0 [2]
Comparando [1] y [2], se tiene que:
x = u + v
3uv = – p
u3 + v3 = – q
A partir de las dos últimas igualdades no resulta difícil obtener que:
De donde, por extracción de la raíz cúbica, se obtienen tres valores para u y tres valores para v, a partir de los cuales se generan nueve parejas (u, v). De ellas sólo tres verifican las restricciones 3uv = – p y u3 + v3 = – q.
Con esto, las tres raíces de la ecuación [1] vienen dadas por:
Si,
estamos en presencia del “caso irreducible” cuyas soluciones reales se deben calcular haciendo intervenir números complejos.
En 1539,Nicolò Fontana “Tartaglia” (ca. 1499 – 1557) comunicó a Girolamo Cardano (1501 – 1576), mediante unos tercetos, las reglas que permitían resolver tres tipos de ecuaciones de tercer grado [x3 + px = q ; x3 = px + q; x3 + q = px, (p, q >0)].
He aquí la traducción e interpretación matemática de los tres tercetos en los que el “tartamudo de Brescia”describe la regla para calcular la única raíz positiva de la ecuación x3 + px = q.
Cuando el cubo y las cosas juntas
[x3 + px]
Se igualan a cualquier número discreto:
[x3 + px = q]
Se buscan otros dos que difieran en él.
[u – v = q]
Luego, tendrás por costumbre
Que su producto sea siempre igual
Al cubo de la tercera parte de las cosas conocidas.
[uv = (p/3)3]
Como regla general, lo que queda De la diferencia de sus raíces cúbicas
será igual a tu cosa principal.
Al cubo de la tercera parte de las cosas conocidas.
[uv = (p/3)3]
Como regla general, lo que queda De la diferencia de sus raíces cúbicas
será igual a tu cosa principal.
Cardano, como muestra de agradecimiento, se comprometió a no revelarlas hasta que Tartaglia las hiciese públicas. No obstante, ante la tardanza de dicha publicación, Cardano las dio a conocer en su Ars Magna (1545).
Este hecho provocó que, al año siguiente, Nicolò Fontana publicase algunos comentarios despectivos sobre Girolamo que originaron una polémica nada edificante entre Tartaglia y Ludovico Ferrari (1522 – 1565), otro de los grandes matemáticos italianos del Renacimiento.
En las líneas siguientes, utilizando el simbolismo moderno y mediante un proceso similar al de Tartaglia-Cardano, presentamos la fórmula que permite resolver la ecuación de tercer grado por radicales.
Es un hecho bien conocido que cualquier ecuación general de tercer grado se puede transformar, mediante los cambios pertinentes, en otra sin término de segundo grado y cuyo primer coeficiente es 1. En consecuencia, basta con estudiar las ecuaciones del tipo:.
x3 + px + q = 0 [1]
A partir de la identidad (u + v)3 = u3 + v3 + 3uv (u + v) se puede escribir la siguiente relación:
(u + v)3 – 3uv(u + v) – (u3 + v3) = 0 [2]
Comparando [1] y [2], se tiene que:
x = u + v
3uv = – p
u3 + v3 = – q
A partir de las dos últimas igualdades no resulta difícil obtener que:
De donde, por extracción de la raíz cúbica, se obtienen tres valores para u y tres valores para v, a partir de los cuales se generan nueve parejas (u, v). De ellas sólo tres verifican las restricciones 3uv = – p y u3 + v3 = – q.
Con esto, las tres raíces de la ecuación [1] vienen dadas por:
Si,
estamos en presencia del “caso irreducible” cuyas soluciones reales se deben calcular haciendo intervenir números complejos.jueves, 28 de mayo de 2009
Los tercetos de la discordia:
Breve reseña histórica:
Los acontecimientos que tuvieron lugar en torno al problema de la resolución de la ecuación de tercer grado configuran uno de los episodios más apasionantes de la historia del álgebra.El estudio y la resolución de las ecuaciones de tercer grado se llevan a cabo en la primera mitad del siglo XVI en el seno de algebristas italianos, en circunstancias personales difíciles de precisar dada la costumbre de la época de mantener el secreto de los descubrimientos con el objeto de resaltar y prevalecer sobre los adversarios en los torneos, a veces públicos, donde se planteaban problemas científicos.El hecho es que a principios de siglo comienzan a aparecer, en el ambiente de los calculistas y algebristas italianos, problemas que conducen a ecuaciones de tercer grado, entre cuyos proponentes figura el discípulo de Del Ferro, Antonio María Fior, o Florido, como lo latiniza Cardano.
Es ahora que aparece uno de los protagonistas de estos sucesos: el ingeniero y matemático autodidacto Niccolò Tartaglia quien, estimulado sin duda por aquellos problemas, encuentra por su cuenta, según propias declaraciones, la regla para resolver ecuaciones cúbicas en 1534. Cuando el año siguiente se produce un importante desafío matemático entre Fior y Tartaglia, éste resuelve las 30 cuestiones que le propuso Fior (en dos horas, según afirma Tartaglia) mientras Fior no resuelve ninguna de las cuestiones que, en igual número e índole le propone Tartaglia.
La fama que entonces conquista Tartaglia llega a oídos de otro protagonista de esta cuestión, el médico y autodidacto Gerolamo Cardano que se esfueza en conocer los hallazgos de Tartaglia para incluirlos en su obra Ars magna. Tartaglia deseoso de hacerlos aparecer en sus propios libros, se resiste hasta 1539, cuando Cardano logra una entrevista con Tartaglia donde cede y le revela a Cardano las soluciones de las cúbicas mediante unos TERCETOS, no sin antes hacerle jurar "por los santos evangelios" que no las hará conocer antes de que Tartaglia las publique por su cuenta.
Pero en 1545 Cardano, probablemente ante la demora de Tartaglia en publicar esas soluciones, lo traiciona y las hace conocer en su Ars magna, exponiendo al respecto su propio punto de vista acerca de la cuestión, hecho que da lugar a que Tartaglia, en sus Questis del año siguiente, publique ciertas apreciaciones sobre Cardano que provocan una gran polémica en los años subsiguientes nada edificante y que tampoco agrega nada a las ecuaciones.
A continuación, una introducción libre en prosa, de los tercetos de Tartaglia "enseñando" a Cardano las reglas para resolver la ecuación cúbica, en las tres formas en que en esa época podría presentarse esa ecuación:
Cuando el cubo más la cosa es igual a un número,
debes buscar dos números cuya diferencia sea este número
y cuyo producto sea igual al cubo de la tercera parte de las cosas;
la diferencia de sus raíces cúbicas es la cosas principal.
Cuando, en cambio, el cubo está solo debes seguir esta regla:
Dividirás el número en dos partes tales que el producto sea igual al cubo
del tercio de las cosas, y entonces la suma de las raíces cúbicas
de esas partes dará lo que buscas.
El tercer caso, si bien miras, se resuelve como el segundo
al cual mucho se parece. He encontrado estas cosas en 1534,
con sólidos fundamentos en Venecia.
Luego de haber reflexionado sobre los tercetos de Tartaglia, te invito a que con ellos, resuelvas la siguiente ecuación de tercer grado: x^3+3x=14 ; Además, te planteo los interrogantes: ¿Con los tercetos podemos calcular todas las raíces de las ecuaciones de tercer grado? ¿Qué aportes podes hacer sobre el caso irreducible?
Los acontecimientos que tuvieron lugar en torno al problema de la resolución de la ecuación de tercer grado configuran uno de los episodios más apasionantes de la historia del álgebra.El estudio y la resolución de las ecuaciones de tercer grado se llevan a cabo en la primera mitad del siglo XVI en el seno de algebristas italianos, en circunstancias personales difíciles de precisar dada la costumbre de la época de mantener el secreto de los descubrimientos con el objeto de resaltar y prevalecer sobre los adversarios en los torneos, a veces públicos, donde se planteaban problemas científicos.El hecho es que a principios de siglo comienzan a aparecer, en el ambiente de los calculistas y algebristas italianos, problemas que conducen a ecuaciones de tercer grado, entre cuyos proponentes figura el discípulo de Del Ferro, Antonio María Fior, o Florido, como lo latiniza Cardano.
Es ahora que aparece uno de los protagonistas de estos sucesos: el ingeniero y matemático autodidacto Niccolò Tartaglia quien, estimulado sin duda por aquellos problemas, encuentra por su cuenta, según propias declaraciones, la regla para resolver ecuaciones cúbicas en 1534. Cuando el año siguiente se produce un importante desafío matemático entre Fior y Tartaglia, éste resuelve las 30 cuestiones que le propuso Fior (en dos horas, según afirma Tartaglia) mientras Fior no resuelve ninguna de las cuestiones que, en igual número e índole le propone Tartaglia.
La fama que entonces conquista Tartaglia llega a oídos de otro protagonista de esta cuestión, el médico y autodidacto Gerolamo Cardano que se esfueza en conocer los hallazgos de Tartaglia para incluirlos en su obra Ars magna. Tartaglia deseoso de hacerlos aparecer en sus propios libros, se resiste hasta 1539, cuando Cardano logra una entrevista con Tartaglia donde cede y le revela a Cardano las soluciones de las cúbicas mediante unos TERCETOS, no sin antes hacerle jurar "por los santos evangelios" que no las hará conocer antes de que Tartaglia las publique por su cuenta.
Pero en 1545 Cardano, probablemente ante la demora de Tartaglia en publicar esas soluciones, lo traiciona y las hace conocer en su Ars magna, exponiendo al respecto su propio punto de vista acerca de la cuestión, hecho que da lugar a que Tartaglia, en sus Questis del año siguiente, publique ciertas apreciaciones sobre Cardano que provocan una gran polémica en los años subsiguientes nada edificante y que tampoco agrega nada a las ecuaciones.
A continuación, una introducción libre en prosa, de los tercetos de Tartaglia "enseñando" a Cardano las reglas para resolver la ecuación cúbica, en las tres formas en que en esa época podría presentarse esa ecuación:
Cuando el cubo más la cosa es igual a un número,
debes buscar dos números cuya diferencia sea este número
y cuyo producto sea igual al cubo de la tercera parte de las cosas;
la diferencia de sus raíces cúbicas es la cosas principal.
Cuando, en cambio, el cubo está solo debes seguir esta regla:
Dividirás el número en dos partes tales que el producto sea igual al cubo
del tercio de las cosas, y entonces la suma de las raíces cúbicas
de esas partes dará lo que buscas.
El tercer caso, si bien miras, se resuelve como el segundo
al cual mucho se parece. He encontrado estas cosas en 1534,
con sólidos fundamentos en Venecia.
Luego de haber reflexionado sobre los tercetos de Tartaglia, te invito a que con ellos, resuelvas la siguiente ecuación de tercer grado: x^3+3x=14 ; Además, te planteo los interrogantes: ¿Con los tercetos podemos calcular todas las raíces de las ecuaciones de tercer grado? ¿Qué aportes podes hacer sobre el caso irreducible?
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